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Prueba de Aptitud
Académica. Habilidad numérica. Guía # 9
Introducción a la
probabilidad para estudiantes que presentarán la prueba de Aptitud Académica.
Demostración, basada en la
teoría de la probabilidad, de que el método al azar, propuesto en la guía #8, para responder preguntas con 5 opciones, es
“probabilisticamente” acertado.
Probabilidad
La teoría de la
probabilidad recibió un gran impulso en el siglo XVII por la inquietud de
jugadores o apostadores profesionales que querían conocer la probabilidad de
ganar perder o empatar (sus perdidas o ganancias) en los juegos de azar o en
los juegos de casino. En 1654, el noble Francés Chevalier de Mere le pidió a
Blaise Pascal, célebre matemático y filósofo, que le ayudara a estudiar las
probabilidades de éxito o fracaso en ciertos juegos de azar. Pascal y el famoso
matemático Pierre Fermat y otros, comenzaron a desarrollar la entonces novedosa
teoría de la probabilidad.
El más sencillo ejemplo de
su aplicación, se ilustra con el juego del “cara” y “sello”.
Cuál es la probabilidad de obtener una “cara” o un “sello” al lanzar una
moneda?.
Respuesta:
La moneda puede caer en cara o sello. El espacio muestral o
conjunto de todas las posibilidades o resultados del lanzamiento de una moneda
se puede describir como el conjunto íc,sý, que contiene todos los eventos o resultados posibles al lanzar
la moneda.
Nuestro espacio muestral tiene dos elementos o se dice que es de cardinal
2.
Si estudiamos el evento cara (obtener una cara) y lo describimos por ícý, vemos que es de cardinal
1 , es decir que tiene un solo elemento.
La probabilidad de cara se define como la división de el número de
elementos del espacio muestral
íc,sý, que aseguran
el éxito (cara), en este caso 1 (aparece sólo una cara en el espacio muestral íc,sý) entre el número total de
elementos o cardinal del espacio muestral (en este caso 2).
Definida de esta forma, la probabilidad de cara sería : P(c) = ½ = 0,5.
La probabilidad de sello es por supuesto: P(s) = 1/2 = 0,5 (hay la misma probabilidad de obtener cara que de
obtener sello).
Todo esto se justifica porque hay una sola cara y un solo sello en el
espacio muestral íc,sý, el cual como espacio
total tiene dos elementos.
Al lanzar la moneda, una sola vez, puede haber “éxito” (sacar cara) o
fracaso (sacar sello) y no hay otra posibilidad.
Note que P(c) + P(s) = 1, lo cual siempre sucederá en teoría de
probabilidad. Por ello si llamamos “éxitp” a obtener “cara” y “fracaso” a
obtener sello, como no hay otra posibilidad, entonces P(éxito) + P(fracaso) =
1.
Problema: En la final de un reinado
internacional de belleza hay siete candidatas: 3 Europeas, 1 Africana, 2
Latinoamericanas y 1 Asiática.
Suponiendo que la elección de cada una es igualmente probable,
estudiaremos
A) La probabilidad de que la reina sea Europea
B) La probabilidad de que la reina sea Africana
C) La probabilidad de que la reina sea Latinoamericana
D) La probabilidad de que la reina sea Asiática.
Solución:
El espacio muestral sería la colección o conjunto de reinas,
denom,inando por a a las Africanas, por e
a las Europeas, por l
a las Latinoamericanas
y as a las Asiáticas, es decir:
S = íe,e,e,a,l,l, asý
En S, las cualidades que caracterizan a nuestras reinas respecto a la
probabilidad de ser europea, africana, latinoamericana o asiática, nos obligan
a no distinguir entre las finalistas Europeas (3), o entre las Africanas (1), o
entre las Latinoamericanas (2) o entre las asiáticas (1), puesto que además no
se ha dicho que algunas de ellas tienen mayor probabilidad de ser elegidas
Reina.
El espacio muestral S tiene cardinal 7 ( 7 finalistas). Las Europeas son
3, las Africanas 1, las Latinoamericanas 2 y las Asiáticas (1).
Sean P(e) : Probabilidad de que
la reina sea Europea
P(a) : Probabilidad de
que la reina sea Africana
P(l ) : Probabilidad de
que la reina sea Latinoamericana
P(as):
Probabilidad de que la reina sea Asiática
Entonces: P(e) = ( # finalistas europeas ) / ( # total de finalistas) =
3/7
P(a) = ( # finalistas africanas ) / ( # total de finalistas) =
1/7
P( l ) = ( # finalistas latinoamericanas ) / ( # total de finalistas) =
2/7
P(as)
= ( # finalistas asiaticas ) / ( # total de finalistas) =
1/7
De nuevo: P(e) + P(a) + P( l ) + P(as) = 3/7 + 1/7 + 2/7 +
1/7 = 1, ya que estas son todas
las posibilidades disyuntas (sin intersección) del espacio muestral y los
eventos son excluyentes: las europeas no son ni africanas, ni asiáticas , ni
latinas y así para todas las demás.
La suma de las probabilidades de la unión (U) de subconjuntos disyuntos que “agoten” el espacio muestral es 1.
Este principio lo verificaremos en el siguiente ejemplo,
Ejemplo: Se tiene una urna con 20
bolas de la misma textura y forma (para que no se diferencien al extraerlas),
en diferentes colores, así: 5 amarillas, 8 negras, y 7 rojas. Cuál es la
probabilidad de que al extraer una sóla bola de las 20, la bola sea:
a) negra b) no sea
amarilla c) sea roja d) sea amarilla o negra
Solución: El espacio muestral sería
descrito como:
S = íA,A,A,A,A,N,N,N,N,N,N,N,N,R,R,R,R,R,R,Rý
Como hay ocho bolas negras, la probabilidad de que la bola sea negra
P(N) = (# bolas negras) / (# total de bolas) = 8 / 20 =
4/10 = 0,4
Del mismo modo se calcula, la probabilidad de que la bola sea roja c)
P(R) = 7 / 20 = 0,35
Auncuando no lo preguntan, podría ya inferir la probabilidad P(A) de que
la bola sea de color amarillo, ya que S = íA,A,A,A,Aý U íN,N,N,N,N,N,N,Ný U íR,R,R,R,R,R,Rý y dichos conjuntos son
disyuntos. Por lo tanto: P(A)
+ P(N) + P(R)= 1.
Luego P(A) = 1 – P(N) – P(R) = 1 – 0,4 – 0,35 = 0,25
En este caso, por cálculo directo se inferiría que P(A) = 5/20 = 1/4 = 0,25
Las preguntas b) y d) ameritan un poco de reflexión:
b) El evento: Para que la bola no sea amarilla, debe ser roja o negra,
por lo tanto, tal evento corresponde al conjunto:
íN,N,N,N,N,N,N,Ný U íR,R,R,R,R,R,Rý = íN,N,N,N,N,N,N,N,R,R,R,R,R,R,Rý de cardinal 15, luego, la probabilidad de que la bola no sea amarilla
sería:
P(~A) = 15 / 20 = 3/4 = 0,75
Otra manera de calcularla, es considerando que el evento bola no amarilla es el complemento en el espacio muestral de bola amarilla y por lo tanto: P(~ A) = 1 – P(A) = 1 – 0,25 = 0,75
d) Sea amarilla o negra.
Se podría calcular al menos de dos maneras.
i)
El complemento en el espacio muestral de
amarilla o negra, es roja.
P(R) = 0,35. Luego P(~ R) = 1 – 0,35 = 0,65
ii)
El total de bolas contando sólo las amarillas y
las negras es 13. Luego la probabilidad de que la bola sea amarilla o negra P(A
U N ) = 13 / 20 = 0,65
Problema: Calculemos la
probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces obtengamos:
a) 3 caras b) dos caras c)una cara d)solo
sellos e) un sello
f)dos caras y un
sello g)dos sellos. h)ninguna cara
Solución: El espacio muestral o
conjunto de todos los posibles resultados es:
C,C,C tres caras
C,C,S Dos caras y un sello (cara en los primeros dos
lanzamientos)
C,S,C
“ “ “ (cara en
el primero y el tercer intentos)
S,C,C
“ “ “ (cara en
el segundo y tercer lanzamientos)
C,S,S Una cara y dos sellos (cara sólo en el primer lanzamiento)
S,C,S “ “ “ (cara
solo en el Segundo lanzamiento)
S,S,C “ “ “ (cara
solo en el tercer lanzamiento)
S,S,S Ninguna cara
Luego, el cardinal o número de elementos del espacio muestral es 8. Note
que 8 = 23, este resultado proviene de la teoría combinatoria la
cual no es tema de esta guía.
a) El suceso o evento 3 caras sólo aparece una vez. Luego P(3 caras) = 1/8 = 0,125
b) El evento 2 caras aparece 3 veces, luego: P(2 caras) = 3/8 = 0,375
c) El evento una cara aparece 3 veces, luego P(1 cara) = 3/8 = 0,375
d) El evento sólo sellos es equivalente a ninguna cara, luego P(sólo
sellos) = 1/8 = 0,125
e) El evento un sello es equivalente a dos caras, ya calculado, luego su
probabilidad es 0,375
f) El evento dos caras y un sello es equivalente a dos caras, luego su
probabilidad es también 0,375 g) El evento dos sellos es equivalente a una
cara, luego su probabilidad, ya calculada, es 0,375
h) El evento,ninguna cara, es equivalente a 3 sellos, luego su probabilidad
es 1/8 = 0,125
Podríamos verificar que: P(1 cara) + P(2 caras) + P(3 caras) + P(ninguna
cara) = 1
Si A es un evento y ~A es su negación, teniendo
en cuenta la igualdad anterior, afirmamos que
P(A) + P(~A) = 1, por lo tanto:
P(~A) = 1 – P(A).
En base a esta regla podemos contestar la siguiente pregunta:
Cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara en los tres
lanzamientos:
La probabilidad de sólo sellos se calculó en d) como 0,125, su negación
es que salga al menos una cara (una cara, dos caras, tres caras), luego
P(al menos
una cara) = 1 – P(sólo sellos) = 1 – 0,125 = 0,875
También P(al menos una cara) = P(una cara) + P(dos caras) + P(3 caras)
= 0,375 + 0,375 + 0,125 = 0,875
Luego la probabilidad de que salga al menos una cara en 3 lanzamientos es alta (0,875), mientras que la probabilidad de que no salga ninguna, sólo sellos es baja (0,125).
Es por ello que la probabilidad de acertar al menos una pregunta cuando
se contestan tres preguntas por el método del azar propuesto en la guía # 8 es
alta. Por lo tanto en este caso la probabilidad de contestar al menos una
pregunta acertada, utilizando el método del azar en tres preguntas es 0,875,
mientras la posibilidad de no acertar ninguna es relativamente baja (0,125).
Observación: Si en la prueba de aptitud académica, una pregunta mala anulara una buena, yo no aconsejaría utilizar el método del azar, pues auncuando no sería tan peligroso como jugar a la ruleta Rusa (colocar una sola bala en el tambor de un revolver, girar el tambor al azar, y disparar a la cabeza), sería en parte un juego, no tan desventajoso al fín pero al menos demasiado “azaroso”.
